|
几何中的位置关系问题，主要包括平行、垂直、共线、共点等，这类问题的解决往往具有难度大、技巧性强、不易掌握的特点，对于这类问题的证明，由于过程一般都要添置辅助线，因此证明又常常显得繁琐复杂。但是若用向量的方法来解决，把位置关系转化成了该关系所满足的相应的向量关系，位置关系的证明也就转化成了相应的向量关系式证明，由于向量有便于计算的特点，就能使几何问题代数化、复杂问题简单化、逻辑推理运算化。这类问题的论证就会显得思路简单，操作方便。本文对向量工具处理平行、垂直、共线、共点的一些解法进行了探讨。 内容来自www.paper51.com 1.平行 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （1）证两直线平行，若它们不在同一条直线上，则可证这两直线对应的向量为共线向量，或证它们的向量积为零向量。 内容来自www.paper51.com （2）证空间中一直线与平面平行，若该直线不在平面上，则可在平面上寻求法向量，使该法向量与已知直线所对应的向量垂直。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （3）证空间中两平面平行，通常可证它们的法向量为共线向量，或证它们法向量的向量积为零。 paper51.com
例1 已知：直线OA平面，直线BD平面，O、B为垂足. http://www.paper51.com
内容来自www.paper51.com 图1 paper51.com 求证：OA∥BD. http://www.paper51.com 分析：由向量共线的充要条件知，只要证明=即可. 内容来自www.paper51.com 证明：以点O为原点，以射线OA为非负z轴，如图1，建立空间直角坐标系O-xyz，, ,为沿x轴、y轴、z轴的坐标向量，且设=（x，y，z）. copyright paper51.com
∵ BD，∴ ， ， copyright paper51.com ∴• =（x，y，z）•（1，0，0）=x=0. 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
•=（x，y，z）•（1，0，0）=y=0. http://www.paper51.com ∴=（0，0，z），∴=z•. 内容来自www.paper51.com
∴∥，即OA∥BD. http://www.paper51.com
例2 （1994年全国高考题）如图2，已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，D是AC的中点，求证AB1∥平面DBC1. copyright paper51.com
内容来自论文无忧网 www.paper51.com
分析：可求出平面DBC1的法向量，只需证·=0即可. 内容来自www.paper51.com 证明：建立如图2所示的空间直角坐标系A-xyz.设正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为b，则A（0，0，0），B（a，，0），C1（0，a，b）， http://www.paper51.com B1（a，，b），D（0，，0）。 内容来自www.paper51.com 设平面DBC1的法向量为 =（x，y，z），则=（a，，b）, 内容来自www.paper51.com =（—a，0，0），=（0，，b）. 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 由⊥，⊥得 内容来自www.paper51.com paper51.com 所以 copyright paper51.com · copyright paper51.com
= — copyright paper51.com ax=0 , x=0 copyright paper51.com ·=y+bz=0 . z=y. paper51.com
取y=1，得 =（0，1，）. 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
由于·=（a，，b）·（0，1，）=0， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
得⊥.即∥平面DBC1。 http://www.paper51.com 例3 如图3，已知正方体AC1的棱长为1，E、F、G分别为AB、AD、AA1的中点.求证：平面EFG∥平面B1CD1。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
http://www.paper51.com 分析：设 、分别为平面EFG、B1CD1的法向量，要证EFG∥B1CD1，只需证明，存在一个非零常数，满足=，则EFG∥B1CD1. 内容来自www.paper51.com 证明，建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz， 内容来自www.paper51.com 则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），D1（0，0，1）. copyright paper51.com 得E（1，，0），F（，0，0），G（1，0，）. 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 设=（x1，y1，z1）为平面EFG的法向量，=（x2，y2，z2）为平面B1CD1的法向量. http://www.paper51.com
容易计算: =（1，-1，-1），=（1，-1，-1）. http://www.paper51.com 由= 得平面EFG∥平面B1CD1。 http://www.paper51.com |