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1. 引言 对称导数是导数概念的推广，早在1967年的文献中就提出了对称导数的概念，并以它基础导出了一系列的重要命题和定理，从而使微分的作用范围更加广泛。对称导数的概念在很多方面得到了应用，例如在测度论和数值分析中的应用。有关对称导数在国内一些文献中也有介绍和研究，但仍有一些与导数的传统定理相关的定理在对称导数中还未得到推广。 http://www.paper51.com 在《数学分析讲义》中给出导数的定义： 内容来自www.paper51.com 定义1 设函数在有定义，在自变数的改变量是，相应函数的改变量是，若极限 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
内容来自www.paper51.com 存在，称函数在可导，此极限称为函数在的导数，记作。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
本文主要写作思想是类比思想，根据上述定义，下面给出对称导数的定义： paper51.com
定义2 设函数在开区间有定义， 是的子区间，任意，在自变数的改变量是，相应函数的改变量，若极限 内容来自论文无忧网 www.paper51.com paper51.com 存在，称函数在对称可导，此极限称为函数在的对称导数，记作。 内容来自www.paper51.com 性质1 若函数在可导，则函数在对称可导，且。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 证明： http://www.paper51.com
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内容来自www.paper51.com paper51.com 即 copyright paper51.com 注：上述性质反之则不一定成立 内容来自www.paper51.com
例1 设函数 http://www.paper51.com http://www.paper51.com 函数在0处存在，但不存在。（选自参考文献[2]） copyright paper51.com 证明： 内容来自www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
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http://www.paper51.com 即函数在0处存在。 copyright paper51.com 但 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 由于，不存在， http://www.paper51.com 因此，函数在0处不存在。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 性质2 函数在处对称可导不能推出在处连续。 copyright paper51.com 例2 设函数 http://www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 在0处对称可导，但在0处不连续。（选自参考文献[7]） copyright paper51.com 证明：=0 内容来自www.paper51.com 即0， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
10 copyright paper51.com 即在0处不连续。 内容来自www.paper51.com 从而，函数在0处对称可导，但函数在0处不连续。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 性质3 函数在处连续不能推出在处对称可导。 http://www.paper51.com
例3 设函数 paper51.com 内容来自www.paper51.com 则在0处连续，但函数在0处对称导数不存在。（选自参考文献[4]） paper51.com 证明：0 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 即在0处连续，但 copyright paper51.com
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paper51.com 由于，不存在， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 因此，函数在0处不存在。 内容来自www.paper51.com 由此看出，连续与对称可导没有必然的联系，从《数学分析讲义》中知道可导一定连续，而对称导数无相应的结论。 http://www.paper51.com paper51.com |