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人们通过对《几何原本》中第五公设的怀疑与证明，推动了非欧几何的诞生。而非欧几何的产生并不意味着对欧氏几何的否定，更不代表欧氏几何体系从此被推翻。欧氏几何与非欧几何两者有相同的关联、次序、合同和连续这四组公理。它们只有一条公理，即平行公理不同。也就是说，在欧氏几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗巴切夫斯基几何中都不成立，它们都相应的含有新的意义。非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。 paper51.com
一、《几何原本》与第五公设 copyright paper51.com 谈到欧氏几何，必然就会想到欧几里得的《几何原本》，因为它是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学巨著，它是用公理法建立科学理论体系的最早典范，也是欧几里得最有价值的一部著作。在《几何原本》里，欧几里得系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，他把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书也就成了欧氏几何的奠基之作。 http://www.paper51.com 欧几里得为推演出几何学的所有命题，在《几何原本》一开头就给出了五条公理（适用于所有科学）和五条公设（只应用于几何学），作为逻辑推演的前提。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 五条公理指： 内容来自www.paper51.com
1.等于同量的量彼此相等。 内容来自www.paper51.com 2.等量加等量，其和相等。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
3.等量减等量，其差相等。 copyright paper51.com 4.彼此能重合的物体是全等的。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
5.整体大于部分。 paper51.com 五条公设指： http://www.paper51.com 1.过两点能做且只能做一条直线。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 2.线段（有限直线）可以无限的延长。 http://www.paper51.com 3.以任一点为圆心，任意长为半径可作一圆。 内容来自www.paper51.com 4.凡是直角都相等。 内容来自www.paper51.com 5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。 内容来自www.paper51.com 第五条公设就是著名的平行公设，也叫第五公设,并引发了“平行线理论”的讨论。[1] http://www.paper51.com |