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引言 数学归纳法是数学中的一种重要而独特的证明方法。数学归纳法的理论基础（或依据）是归纳公理。明确而清晰地阐述并使用了数学归纳法的是法国数学家、物理学家帕斯卡。在数学史上，人们认为帕斯卡是数学归纳法的创始人[5]。数学归纳法是用来证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
（一）数学归纳法可以根据数学归纳原理得到[6]： copyright paper51.com 数学归纳法实质是归纳——演绎法。它是一种证明方法，它的证明步骤是： http://www.paper51.com （1）对于一个与自然数有关的命题，证明（或等于某一个有限的正整数）时命题成立。 内容来自www.paper51.com
（2）假设命题对于时成立，然后推出命题对于也成立。 http://www.paper51.com
由（1）和（2）得知命题对所有的自然数（或对于不小于的自然数）都成立。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
这个证明过程既有归纳也有演绎。步骤（1）是推理过程的出发点和基本依据，这是一个个别性命题，所以推理有归纳的性质。而证明的关键是，以皮亚诺公理为大前提，以推理步骤中的（1）与（2）成立为小前提，依从三段论的推理规则得到命题对于所有自然数都成立的结论。因此，它是一种用于有关自然数的命题证明的可靠方法。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （二） 数学归纳法的理论依据[1]： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com (1) 正整数最小数原理（也叫正整数良序原理）：任何正整数的非空子集一定含有最小数，即中存在一个正整数，对于中任意，都有。 http://www.paper51.com (2) 皮亚诺公理的第五条性质：任意一个正整数集合，如果含有1，并且假设包含，也一定包含它的后继，那么这个集合包含所有的正整数。（通常称为数学归纳原理） 内容来自www.paper51.com 文献[1]中对以上两条依据所起作用有如下两点阐述： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
第一，从理论上保证数学归纳法能够对一切自然数无遗漏地无限地递推下去，假若出现“对于某些自然数命题是不正确的”，那么一定有一个最小的自然数，使这个命题不正确，也就是当时命题正确, 而当时这个命题不正确. 这就违背了归纳法的第二步骤的证明的结果，所以，既有归纳法中第二步骤的证明，就不会出现“对于某些自然数命题是不正确”的情况。 paper51.com
第二, 从理论上保证“通过数学归纳的两个步骤的证明，而断定对于所有可取的自然数，命题都正确”是合乎逻辑的推理。 paper51.com |