|
三角函数是高中数学中重要的内容之一，而最值的求解是三角函数的重要题型,极具灵活性和综合性，它是对三角函数的概念、图象与性质以及对诱导公式，同角三角函数间的基本关系，两角和与差公式等的综合考察。这类问题不仅与三角恒等变形、三角方程等知识直接相关，而且与代数中的二次函数、一元二次方程判别式、不等式及某些几何知识联系也很紧密。因此，这类问题的求解，往往要综合应用多方面的知识,没有固定的一套解题模式，要灵活运用所学的数学方法去灵活处理具体问题。以下是举例说明求三角函数的最值的七种常见方法。 内容来自www.paper51.com 一、利用三角的有界性 paper51.com 正弦函数和余弦函数都是有界函数，它们的最大值、最小值分别是1，-1，利用它们的这个性质就可以解形如，的最值。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 例1．求函数的最值。 copyright paper51.com 解： http://www.paper51.com
copyright paper51.com 内容来自www.paper51.com 小结：此题的特点是含有正弦、余弦函数，并且是一次式，对于一次类型:可将其化为只含一个角的一个三角函数的表达式，即,其中, 再利用三角函数的有界性即可求得最值。 http://www.paper51.com 例2：求函数的最值。 copyright paper51.com 解： copyright paper51.com
http://www.paper51.com
http://www.paper51.com
http://www.paper51.com
内容来自www.paper51.com
， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
小结：此题的特点是含有的二次式，其处理方式是降幂，再作恒等变形，化为例1的形式来解。 http://www.paper51.com 总结：对于求解例1、例2这样的题型，首先要将正、余弦函数转化为只含一个角的一个三角函数的式子，再利用函数的有界性来求其最值。 copyright paper51.com 二、利用配方法 paper51.com
例3．求函数的最值。 paper51.com 解： 内容来自www.paper51.com
内容来自www.paper51.com copyright paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
paper51.com
内容来自www.paper51.com
小结：此函数的特点是关于的二次式，形如型函数可考虑用配方法，利用二次函数的性质来求其最值，此题要注意的是：因二次项系数为负，故时，取得最大值，而不是时，取得最大值. paper51.com
例4．求函数的最大值。 paper51.com 解： paper51.com
copyright paper51.com
内容来自www.paper51.com
内容来自www.paper51.com 因为，所以当时，的最大值是12 paper51.com
小结：此函数的特点是属于二次类型,可将其适当变形后化为例3的形式，再用配方法，利用二次函数的性质来求解。此题要注意的是：因，故，而只能等于1。 paper51.com
总结：对于二次的三角函数式，对其作相应的变形后化为形如型函数，可考虑用配方法，利用二次函数的性质来求其最值，在解题过程中要注意函数的有界性。 内容来自www.paper51.com 三、利用三角函数的单调性 内容来自www.paper51.com 利用三角函数的单调性解最值也是常用的方法。正弦、余弦函数在每个单调区间上是单调函数，正切、余切的每一支在相应的区间上也是单调函数，利用这些性质也可求最值题。 paper51.com 例5．求函数的最值。 http://www.paper51.com
解：在上是减函数 paper51.com 在上是增函数 copyright paper51.com 又在上是增函数 内容来自www.paper51.com 在上也是增函数 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 在上是增函数 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 的最小值为,的最大值为 http://www.paper51.com 小结：此题用前面的两种方法很难求解，考虑到正弦、余弦函数在每个单调区间上是单调函数，故可用三角函数的单调性来求其最值。 copyright paper51.com 例6．求函数在区间上的最值。 copyright paper51.com 解：令 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 均为上的单调递增函数 paper51.com 原函数在上是单调递增函数 http://www.paper51.com
当时，,当时， paper51.com 小结：原函数的特点是由在上的两个单调递增函数的和构成，那么原函数在上也是单调递增函数，由于定义在单调区间上的单调函数能在该区间的端点处取得最值，故可根据函数的单调性来求最值。 http://www.paper51.com 总结：由于定义在某个区间上的单调函数能在该区间的端点处取得最值，所以当已知的函数为单调函数时，可根据函数的单调性求最值。 内容来自www.paper51.com |