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用不等号连接两个式子，其中含有三角函数的，简称三角不等式[1]。我们把、、、、、叫做基本三角函数，只有一个基本三角函数的不等式，简称为基本不等式[2].三角不等式是三角函数和不等式的综合应用，这就说明，要处理好这个问题，既要用到不等式的性质，又要熟练掌握三角公式进行恒等变换，善于利用三角函数的图像和性质.但是，由于三角函数恒等变换公式繁多和它具有的周期性以及三角函数在整个定义域内并非全为单调函数.这样，就给确定三角不等式的解带来了困难，因此，这是中学数学的一个难点，不仅如此，它也是中学数学的重点，因为三角函数和不等式都是中学数学的重要内容，现在高考主要是注重知识的综合运用，在高考中它也占一定分值.那么怎样才能快速、准确的解决这些问题呢？下面，我用利用三角函数的单调性、利用三角函数的恒等变形公式、数形结合、首尾相接法、换元法五种方法来分析、解决三角函数不等式的问题。这些方法并非相互独立，很多时候需要综合应用. paper51.com 一、 利用三角函数的单调性来解 内容来自www.paper51.com 例1、解三角不等式 . 内容来自www.paper51.com 解：原本不等式变形为：，因为正切函数的周期为，所以取,在上，为负值，去绝对值后原不等式等价于，，，又因为正弦函数为增函数， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com ，解集为：. 1 内容来自www.paper51.com 在上，为正值，去绝对值后原不等式不变， http://www.paper51.com ，，又因为正弦函数为增函数， copyright paper51.com ，解集为：. 2 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
综合1、2得：原不等式在解集为： copyright paper51.com . paper51.com 最后加上周期，得全集为： paper51.com . 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 小结：解本题的关键是首先要知道正弦函数在一个周期内的单调性，其次是加了绝对值后要会判断三角函数的单调性是否改变.应注意的是三角函数是周期函数，所以在写不等式解集时应写全集. 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 例2、解三角不等式 ，. copyright paper51.com 解：原式可化简为：. http://www.paper51.com 当时，，原式可化简为：，此时不等式与前面矛盾，所以无解. 1 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 当时，，原式可化简为：，此时为增函数， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 又∵ ∴，根据题意，，即 内容来自www.paper51.com
解集为：. 2 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 所以由1 2 得：原不等式在解集为：. 内容来自www.paper51.com
小结：本题是一个较为复杂的三角不等式，首先把原不等式化简成只含有一个基本三角函数的不等式，然后通过分类讨论及运用三角函数的单调性得出解，虽然经过这么多过程，但关键还是运用三角函数的单调性来解的，解题时要注意题中一些隐含的条件，如分母不能为零. http://www.paper51.com 方法总结：通过上面两个例题我们得出了解三角不等式的一种方法，即根据三角函数在各个区间上的单调性来解三角不等式，但是这种方法只适用于解只含有一个基本三角函数的不等式，只需熟练掌握这些基本三角函数在最小周期内的单调性即可.需要注意的是没规定解集范围的最后要加上周期才是全集，也要注意题目中一些隐含的条件，细心求解、综合考虑才不易错解、漏解. copyright paper51.com 二、 利用三角函数的恒等变形公式 内容来自www.paper51.com 例3、解不等式[3] http://www.paper51.com
解：利用公式，原不等式可变形为: paper51.com ，其中，而， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com ，代入上式化简可得:，即, copyright paper51.com 取时，为增函数, 内容来自www.paper51.com ， 从而1. copyright paper51.com
取时，为减函数, paper51.com ， 从而 2. copyright paper51.com 综合1、2得不等式在的解集为： 内容来自www.paper51.com . paper51.com
最后再加上周期即可. 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 全集为. paper51.com
小结： 遇到形如上面这种类型的题，不等式左边要化为只含有一个三角函数的式子，可抽象为对 型的变换，有两种方法，一是公式法，可化的形式，其中，二是可将式子左边的一些数字化为特殊的三角函数，利用三角函数的和（差）角公式的逆运算把式子左边化为只含有一个三角函数的式子.例如上式可先提出一个，得，可变形为，最后还是可化简为.需要注意的是，若式子化得或时，已经超出了正弦值，就不必往下算了，无解.出现不是特殊角的函数值，要能找出其对应的点. 内容来自www.paper51.com 例4、解三角不等式 [3] paper51.com
解：, 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 因此，， paper51.com 移向化简为 , 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 再对用差化积得:. http://www.paper51.com 所以，不等式等价于 ， 内容来自www.paper51.com 由此， 从而，； http://www.paper51.com 而. http://www.paper51.com 不等式的主周期为，因此，在上方程 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 有根和，而方程有根，于是， paper51.com 方程 在上有根.在， http://www.paper51.com
[],内任取数字，取时，不等式不成立，所以不是不等式的解，时，不等式成立，所以是不等式的解. paper51.com 同理，就可得出不等式在上的解集为: 内容来自论文无忧网 www.paper51.com . 内容来自www.paper51.com |