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中国是世界四大文明古国之一，在科学发展的历史长河中形成了有自己民族特色的科学体系，数学也不例外。人类历史的发展是连续不断的，尽管有时快有时慢，但总是不断进步的。我们面对现实的时候不应当忘记历史，我们歌颂今天辉煌成就的时候也不要忘记过去，只有全面地正确地了解和把握历史，才能更好的开拓未来。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 如果说，一部中国数学发展史像一条渊远流长的河流，那么几千年来祖先们取得的辉煌成就，就是这河流中耀眼的浪花。在祖先取得的成就中有一个“中国剩余定理”。大家都知道，“勾股定理”最早是由我国西周时期的商高发现的，但国外却称其为“毕达哥拉斯定理”，法国称为“驴桥定理”，埃及称为“埃及三角形”等。还有“增乘开方法”，最早是由我国宋代的贾宪发明的，但现代数学却称其为“霍纳法”，贾宪的发明比霍纳早了800年。而中国剩余定理则是唯一一个以我国国名命名的定理，大家一定对这个定理很感兴趣，很想知道关于这个定理的故事。现在我就为大家简单介绍一下“中国剩余定理”。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事： 韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。 这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，就是现在被称为“中国剩余定理”的一次同余式解法。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
《孙子算经》、《周髀算经》与《九章算术》这三部著作是我国古代三大数学名著。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 《孙子算经》是算经十书之一，又作《孙子算术》。现有传本《孙子算经》分上、中、下共3卷。该书作者和确切成书年代均无法考证，大约成书于公元400年前后。 paper51.com
最早提出并记叙这个数学问题的，就是数学著作《孙子算经》中的“物不知其数”题目。这道“物不知其数”的题目是这样的： http://www.paper51.com “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？” 内容来自www.paper51.com 这个问题翻译成白话文意思是：“今有一些物不知其数量。如果三个三个地去数它，则最后还剩二个；如果五个五个地去数它，则最后还剩三个；如果七个七个地去数它，则最后也剩二个。问：这些物一共有多少？” http://www.paper51.com 翻译成数学语言就是：“求正整数X，使X除以3余2，除以5余3，除以7余2。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。一百六以上，一百五减之，即得。” paper51.com 应该指出，《孙子算经》对这类问题的研究只是初具雏形，还远远谈不上完整，其不足之处在于： copyright paper51.com （1） 没有把解法总结成文，致使后人研究多凭猜测； 内容来自www.paper51.com （2） 模数仅限于两两互质的正整数，未涉及一般情况； 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （3） 未能进一步探究同余式（组）有解的条件等理论问题。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 因此，后人把这一命题及其解法称为“孙子定理”，主要是推崇《孙子算经》处理这类问题在时间上的领先，其思想方法的成熟，还有待后来中国古代数学家们的工作。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
过了一千多年，到了十六世纪，数学家程大位在他所著的《算法统宗》里把这个问题的解法用歌诀形式表述出来。 http://www.paper51.com
三人同行七十稀， paper51.com 五树梅花廿一枝， http://www.paper51.com
七子团圆正月半， copyright paper51.com 除百零五便得之。 内容来自www.paper51.com 歌诀的前三句给出了三组数，后一句给出了一个数： 内容来自www.paper51.com 3 70 http://www.paper51.com
5 21 http://www.paper51.com 7 15 http://www.paper51.com
105 copyright paper51.com
三组数的共同特征是： 内容来自www.paper51.com 70除以3余1，除以5、7余0； 内容来自www.paper51.com 21除以5余1，除以3、7余0； copyright paper51.com 15除以7余1，除以3、5余0。 内容来自www.paper51.com 首先程大位把不同的余数问题统一化为标准的余数问题。然后，他把复杂难解的问题化解为三个易解的问题。70、21、15分别是满足第一、二、三行条件的最小解。 内容来自www.paper51.com 2×70满足原题第一个余数条件，且被5、7整除。 http://www.paper51.com 3×21满足原题第二个余数条件，且被3、7整除。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 2×15满足原题第三个余数条件，且被3、5整除。 http://www.paper51.com 统统相加得和 copyright paper51.com
X=2×70+3×21+2×15=233。 内容来自www.paper51.com X必然满足原题所有三个余数条件。但X不一定是最小的。歌诀最后一句“除百零五便得知”，这里“除”的意思是“减”，意即从233中减去3、5、7的最小公倍数105的倍数便得到23。这个23就是问题的最小解。这最后一句也可以理解为X除以105的余数就是问题的最小解。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 《孙子算经》的“物不知其数”题虽然开创了一次同余式研究的先河，但由于题目比较简单，甚至用试猜的方法也能求得，所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的，是南宋时期的数学家秦九韶。秦九韶在他的《数书九章》中提出了一个数学方法“大衍求一术”，系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 秦九韶为什么要把他的这一套计算程序和基本原理称为“大衍求一术”呢？这是因为其计算程序的核心问题是要“求一”。所谓“求一”，通俗地说，就是求“一个数的多少倍除以另一个数，所得的余数为一”。那么为什么要“求一”呢？我们可以从“物不知其数”题的几个关键数字70、21、15中找到如下的规律： copyright paper51.com 70=2×5×7≡1(mod 3) 内容来自www.paper51.com
21=3×7≡1(mod 5) copyright paper51.com 70=3×5≡1(mod 7) paper51.com 其中70是5和7的倍数，但被3除余1；21是3和7的倍数，但被5除余1；15是3和5的倍数，但被7除余1，任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。为此，秦九韶提出了乘率、定数、衍母、衍数等一系列数学概念，并详细叙述了“大衍求一术”的完整过程。直到此时，由《孙子算经》“物不知数”题开创的一次同余式问题，才真正得到了一个普遍的解法，才真正上升到了“中国剩余定理”的高度。 copyright paper51.com
一次同余式组用简练的数学语言来表述就是: 内容来自www.paper51.com
X≡b1 (mod m1)， paper51.com
X≡b2 (mod m2)， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com X≡b3 (mod m3)。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com “物不知其数”用现在的方法该怎么解决呢？ http://www.paper51.com 设这个数为X，依据题意得方程组：X≡2 （mod3），X≡3 （mod5 ）， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com X≡2 （mod7）（式中a≡b （modm）表示m整除a－b ）的正整数解。 copyright paper51.com 如何解这个同余式组呢？ copyright paper51.com 我们可以根据中国剩余定理（孙子定理）进行计算。 paper51.com 孙子定理：设m1, m2, m3,…, mk是k个两两互质的正整数，m=m1 m2 m3… mk ， m= mimi, i=1,2,…,k,则同余式的解是：X≡M‵1M1b1＋…M‵k Mk bk（modm）,其中 M‵iM i≡1(modmi),i=1,2,…,k. http://www.paper51.com
m=3×5×7=105, M1=5×7=35,M2=7×3=21, M3=3×5=15 paper51.com
解M‵iM i≡1(modmi), i=1,2,3;得： 内容来自www.paper51.com M‵1=2， M‵2=1 ，M‵3=1.故X≡2×35b1＋1×21 b2＋1×15 b3（mod105） copyright paper51.com
X≡2×35×2＋1×21×3 ＋1×15 ×2（mod105） 内容来自www.paper51.com X≡233（mod105） paper51.com
X≡23（mod105） 内容来自www.paper51.com 所以这个数为23。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com |