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二、函数的性质在数列中的应用 函数的性质,如一次函数、二次函数的性质、单调性、周期性等在数列中都有广泛的应用,深入挖掘并利用函数的性质可以大大简化解题过程,收到较好的解题效果,通过对以下问题的分析,不仅可以使学生进一步巩固函数的性质,而且可以让学生提高解决数列问题的能力。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 1、利用函数的单调性解决有关数列问题 内容来自www.paper51.com 如果一个函数是增函数,那么函数值随着自变量的增大而增大;如果是减函数,那么函数值随着自变量的增大而减小. http://www.paper51.com 例3 已知无穷数列的通项公式,试判断此数列是否有最大项? 若有,求出第几项最大;若没有,评述理由. copyright paper51.com 分析:此数列我们不知道是等比(等差)数列,很难利用数列的有关性质来解决问题,但利用函数的单调性的方法去研究数列的增减性,问题不难得解. 内容来自www.paper51.com 解:令,则 paper51.com = http://www.paper51.com
当时,函数,所以,即. http://www.paper51.com 当时,函数,所以,即. paper51.com 当时,函数,所以,即. copyright paper51.com 故知无穷数列存在最大项,最大项为( paper51.com
评述:本题也可以化归为不等式组:且来解决.但对于这类探索性问题,利用函数的单调性更能体现数列的变化趋势,显得更为简捷直观. http://www.paper51.com 例4 若数列｛｝的通项公式为,其中均为正数,则与的大小关系为 ? 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
分析:我们可以令函数,通过对函数的单调性的判断来比较与的大小关系. copyright paper51.com |