|
解题是一种创造性学习，仅仅具有扎实的基础知识和基本技能是不够的，还要善于思考寻求一题多解。数学问题的解，既有一般解法，又有特殊解法，一题多解可使我们打开思路，开阔眼界，以收举一反三，灵活解题之效。寻求一题多解需要摆脱习惯的解题模式，善于变换，灵活转化，从不同角度，不同方位思考问题，探索解题思路；需要主动地，最大限度地搜集有助于解题的信息，充分利用已知条件，挖掘对解题有用的隐含条件；需要观察问题中的结构特点有何特殊之处，从中发现联系；需要从联想中寻找与熟悉相似的问题的解题方法以及与问题接近的数学知识，变通使用这些知识解题。练不在于多，而在于精，滥做多题，不如精做一题。恰当而又适量地采用一题多解，进行思路分析，探讨解题规律和对数学题的多角度追踪，能以少胜多地巩固基础知识，掌握基本的解题方法和技巧，提高分析问题和解决问题的能力。下面我们通过两道例题，提供多种解法，以帮助读者从中领悟要点，掌握一些解数学分析题的常用方法及基本解题规律。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 例1：设在[]上连续单增，且可积。求证： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 证法1：（用单调性和保号性） 内容来自www.paper51.com
预备知识（定理1）：如果在闭区间[]上可积，且，则，（注：此定理下文多处直接引用）。 内容来自www.paper51.com 证明：根据题意知在[]上单调增加，当有 paper51.com
内容来自www.paper51.com 再由上述定理1得 http://www.paper51.com
copyright paper51.com 即 （1） copyright paper51.com 令，则 paper51.com 所以 （2） http://www.paper51.com 联立（1）（2）两式，解得： paper51.com
内容来自www.paper51.com 所以 paper51.com 证法2：（用积分第一中值定理） paper51.com 预备知识（积分中值定理）：如果在[]上连续，则至少存在一点，使得 ，（注：此定理下文多处直接引用）。 http://www.paper51.com （积分第一中值定理）：如果在[]上连续，在上可积且不变号，则至少存在一点，使得 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 。 copyright paper51.com 证明：根据题意再由积分第一中值定理得使 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
http://www.paper51.com paper51.com （其中） copyright paper51.com
内容来自论文无忧网 www.paper51.com
内容来自www.paper51.com 又因为在上单调增加，则 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 所以 paper51.com 即 paper51.com 内容来自www.paper51.com 积分第一中值定理的条件要求被积函数中至少有一个因子在积分区间上是不变号的，本证法中，对只有一个变号点的因子，通过分段使得在每一段区间中都是不变号的，以便应用积分第一中值定理，这种“分段”处理问题的技巧是常用的。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 证法3：（用积分第二中值定理） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 预备知识（积分第二中值定理）：如果在[]上为单调函数，在上为可积函数，则存在，使得 http://www.paper51.com 。 内容来自www.paper51.com 证明：因为在上单调增加，由积分第二中值定理得，使 内容来自www.paper51.com
http://www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 内容来自www.paper51.com paper51.com 所以 paper51.com 证法4：（用变上限定积分法） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 预备知识（变限定积分）：设在[]上可积，对于任给的，在上都可积，分别称和为变上限定积分和变下限定积分，变限定积分作为关于的函数，在[]上处处可导，且有 paper51.com
http://www.paper51.com
证明：令 http://www.paper51.com 则 且对 ，有 copyright paper51.com
内容来自论文无忧网 www.paper51.com
paper51.com copyright paper51.com |