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笛卡尔的方法来源于它对圆的性质的研究，他通过观察知道圆上任意一点的法线就是过这一点的直径，事实上笛卡尔本人对求解切线没什么兴趣，他给出的方法只是一个求解法线的方法。 paper51.com 内容来自www.paper51.com 如图2，要求y=在C点的切线，笛卡儿的做法是做一个与曲线在C点相切的圆，如果他们不相切的话，两条线的交点将变成两个。在上面的图中所作的相切的圆是圆P，其中P为圆心，再令AM=x、CM=y、CP=n、PA=v，若圆P是相切圆，则C、E渐渐相接近，最终重合。此时y=与圆（关于这个圆的理解，在当时的理解是用轨迹的原理而不是用现在的坐标系去理解的，因为笛卡儿发明的坐标系并不像我们现在用的坐标系）必有交点，则，即必有重根。由解方程的原理，可以推出这样一个式子，这里的是可以由前面的式子定义，这样就得到一个与v的关系式，从而可以用表示出v，就可以用来解出斜率，求得切线。[2] paper51.com l 巴罗的微分三角法 copyright paper51.com 巴罗(I.Barrow 1630~1677)是牛顿的老师，是英国的数学家，是剑桥大学的第一个卢卡斯教授，我们现在知道一个成语叫“巴罗让贤”，讲的就是他因为看到了牛顿的才能已经超过他就把卢卡斯教授的位置让给牛顿，自己去当牧师的故事。巴罗的求解切线的方法更接近于现代的方法。在巴罗的概念里，他习惯把曲线看作是物体运动后留下的轨迹。 copyright paper51.com 他考虑“任意小”的一段弧PQ，并设想它是由RQ引起的，形成所谓的“微分三角形”，当这个增量越来越小，最终与三角形TMP趋于相似。 paper51.com
如图3中，假设QR=e，PR=a，则此时可用等于，又由QP在曲线上，故有 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 接着除去所有包括a与e的幂或者两个乘积的项，从中得到，求出切线。[3] paper51.com 当然，巴罗的成就不仅仅是这么一点，在当时的情况下，巴罗已经知道了切线问题与面积问题的互逆性，虽然当时他没有讲清楚他是怎么样发现这个规律的。应该说巴罗的方法更接近于现代的方法，但在当时，他没有明确的极限的思想，因此只能借助于古代几何的方法（利用相似三角形），具有一定的局限性，可能有证据证明他也许看到在这方面研究的重要性。但是由于牛顿的出现，这位伟大的老师把他的研究交给了牛顿，而牛顿也没有辜负他的老师的期望，隔了不久，牛顿就在巴罗的基础上继续研究，最终发明了微积分，开创了数学的新时代。而包括巴罗在内的许许多多数学家，给牛顿提供了很多方法，他们的功绩也是不可磨灭的！ http://www.paper51.com l 牛顿流数法 http://www.paper51.com 牛顿(I.Newton 1643~1727)的流数法继承了巴罗的微分三角法。事实上，巴罗当年的方法可能是接受了牛顿的意见，但是由于巴罗的方法更多依赖几何方法，不适宜推广，而牛顿的方法则更多的借助于代数的方法，这使得他的方法得以推广，并最终使微积分得于产生。 paper51.com 牛顿是以物理的直观来对待微积分的，他认为曲线是由点的连续运动产生的，因此，生成点的横坐标和纵坐标一般来说都是变化着的量。他把这个变化着的量称为流（fluxion）。如果一个流生成曲线的纵坐标为，则它的流数就用表示，的流数用表示，以此类推。牛顿认为曲线上点的运动是水平运动和垂直运动的合成运动，根据速度向量法则，切线速度向量是水平向量和垂直向量的和。从而，曲线的切线斜率是。 这样求解切线斜率问题便转化成为求和的关系问题。他引入了他称之为流的矩的概念。所谓矩就是一个无穷小量，它是在无穷小时间中流的增量。因此，流的矩由乘积给出。对给定的关系的，用代替，用代替，再消去含的两次幂或高次幂的项，从而得到一个只含曲线生成点坐标和以及它们的流数和方程，经过整理，便可以得到和的关系，从而得到。[5] copyright paper51.com 当然，牛顿的方法中关于无穷小量的描述不是很清楚，而且他的方法也不是建立在相当严格的逻辑基础上，这最终导致了第二次数学危机的产生，但是如同一位数学家讲过的一样，过分的研究细节问题会导致数学问题的发展缓慢，牛顿如果在这里过分计较这个问题，可能微积分的出现就要再往后几年。总之，牛顿在微积分发展中的作用是不可忽视的，而且，他发现微积分的数学思维是后续的研究最重要的方法！ 内容来自www.paper51.com l 现代分析法 http://www.paper51.com 现代数学分析课本中，曲线在点的切线斜率的求法可以由导数的几何意义——曲线在点处的导数是曲线在处的切线斜率——求得。 http://www.paper51.com 设点是曲线上一点,当自变量变到时，在曲线上得到另一点，连结A与B得割线AB(图4)。 图可看出，割线AB的斜率： 。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 其中为割线AB的倾斜角。当B点沿着曲线移动而趋向于A点。此时割线AB的极限位置AT叫做曲线在点A处的切线，设切线AT的倾斜角为。这时，当点B沿曲线趋向于点A(即)时，有，从而有，即 内容来自论文无忧网 www.paper51.com |