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求：在X和Y上分别取M和N点，使MN为X和Y的垂线，且有AM=BN。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com copyright paper51.com 解：过B作垂直于X、Y的一垂线，以B为一点在所作垂线上截取BC= │XY│，连接AC，做AC的垂直平分线，交AC与D，交X于M，连接AM， CM,则易知DM将△AMC分为两全等三角形。 paper51.com
∴AM=CM，过M作MN⊥Y交Y于N，连接BN，则有CBMN 内容来自www.paper51.com 四边形BCMN为一平行四边形 copyright paper51.com
∴BN=CM BN=AM 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 此时的M、N即为所求作的点。 http://www.paper51.com 这是一道作图题，但若想直接用尺规作图的方法将所求的点作出来很困难，此时就必须借助辅助线的作用。要求两相等量，很容易想到构造全等或者等腰三角形以及平行四边形等具有相等关系的的图形。本题就是利用辅助线构造出了一个等腰三角形和一个平行四边形，利用这两种图形的特性来得到所求的相等关系。 http://www.paper51.com 通过上面三道例题可以看出辅助线在解决证明、作图等方面的问题时能起到非常重要的作用，辅助线的添加能使题目中本来不明显的关系变得清晰明了，对题目的解决起到重要的连接作用。利用辅助线解题的关键是如何合理添加辅助线。一般来说，添加辅助线的方法有作平行线、三角形中位线、四边形对角线等，在添加时应根据题目的条件来选取最合适的作法。 paper51.com Ⅱ. 对称 形 内容来自www.paper51.com
在某些几何问题中，往往在所给定的图形中的一部分，用它的对称形代替，或为映像，或做副形，使异侧变为同侧，同侧变为异侧，经过这些变换后，能使原来复杂的问题变得较为简单，下面通过具体的例子来说明。 http://www.paper51.com
：等腰三角形底边上任一点，它到两腰距离的和一定；在底边上任取一点，它到两腰的距离差也为一定。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
求证：M到两腰的距离和一定，N到两腰的距离差也一定 内容来自www.paper51.com 分析：在解如上没有给出具体图形的题时要先根据题目写出已知求证，再证明。 http://www.paper51.com 已知：△ABC为一等腰△，M为起底边上一点，N为其底边延长线上一点。 内容来自www.paper51.com paper51.com 证明：以BC为一边做△ABC的对称△A`BC过M作MD⊥AB，ME⊥AC，过N作NH⊥AB，NL⊥AC，延长DM交A`C于E`，延长A`C交NH与L` copyright paper51.com ∵△A`BC为△ABC的对称三角形 四边形ABA`C为平行四边形 paper51.com 又∵MD⊥AB MD的反向延长线垂直于A`C， http://www.paper51.com 则易知△ME`C≌△MEC paper51.com ∴ME`=ME ME+DM为AB与A`C之间的距离，即为其腰上的高 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
∴它到两腰的距离和一定。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
在△NL`C与△NLC中有，∠L`CN=∠LCN，∠CL`N=∠CLN=90°且CN公用 △L`CN≌△LCN http://www.paper51.com ∴L`N=LN L`N—LN=HL`=CG即也为其腰上的高 内容来自www.paper51.com |