|
[引 言]：一题多解，就是启发和引导学生从不同的角度，不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学题。它属于解题的策略问题。教学中积极，适宜地进行一题多解的训练，有利于充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧；有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识和智慧的成长；有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创造性，还可以密切数学各分科之间的联系，可加深对重要定理，性质，公式的认识。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 有一道解析几何题： copyright paper51.com 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求 copyright paper51.com 点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标。 paper51.com (方法一)，利用基本不等式求解 paper51.com 解：设A（,）,B（, ）,据题意有： 内容来自www.paper51.com ， ① 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
paper51.com
= ② http://www.paper51.com 线段AB的中点M到y轴的距离为: 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
内容来自论文无忧网 www.paper51.com
内容来自论文无忧网 www.paper51.com
paper51.com
http://www.paper51.com
copyright paper51.com
= paper51.com
当==3时取等号，有 copyright paper51.com 此时 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
内容来自论文无忧网 www.paper51.com
由此可以解得M点的纵坐标 内容来自www.paper51.com M点到y轴的最短距离为，此时M点的坐标为 copyright paper51.com 分析：此方法是以A,B坐标为参数，列式后再根据基本不等式（其中a>0,b>0） 内容来自www.paper51.com 来求出最小值，进一步得到M点的坐标，此方法计算量稍大，在此方法中一定要注意，在运 http://www.paper51.com 用基本不等式时，必须保证a>0,b>0. copyright paper51.com
(方法二)，判别式法 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
解：设A(),B（,），则有 http://www.paper51.com
, ① 内容来自www.paper51.com ② 内容来自论文无忧网 www.paper51.com AB中点M到y轴的距离为： ③ paper51.com 由②得 paper51.com
paper51.com
http://www.paper51.com copyright paper51.com 即 ④ 内容来自www.paper51.com 为实数，故，由此得 copyright paper51.com 或 http://www.paper51.com ，，即 paper51.com 当时，，由④得 copyright paper51.com
内容来自论文无忧网 www.paper51.com
= http://www.paper51.com ，M点纵坐标 内容来自www.paper51.com M点到y轴的最短距离为，此时M点的纵坐标为 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 分析：此方法是以A,B坐标为参数，列式后用判别式法来求最值，此方法与方法一的不同之 内容来自www.paper51.com 处是在求最值时运用了判别式法。此方法的关键是构造方程 copyright paper51.com
是实数，且分别是A,B两点的纵坐标，此方程有解，故， http://www.paper51.com 由此进行求解。 copyright paper51.com
(方法三)，参数法 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 解：设A,B,中点M,根据题意有 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
http://www.paper51.com 由（1）得……,由(2),(3)得……(5)将(2), 内容来自论文无忧网 www.paper51.com (3),(5)代入(4)得 paper51.com
内容来自论文无忧网 www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
内容来自www.paper51.com ,当=时,即时,有 http://www.paper51.com M到y轴的最短距离为,此时点M的坐标为 http://www.paper51.com
分析:此方法是将抛物线上的A,B两点用参数表示,根据题义,列出相关的方程组,进 copyright paper51.com 行求解,此方法中参数个数由方法一,二中的四个减少为二个,使数式简化,解题步骤也随之 http://www.paper51.com
简化.此方法中仍用到基本不等式. copyright paper51.com (方法四),利用三角计算式来求解 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 解:设A点坐标为,B点坐标为,如图, paper51.com http://www.paper51.com 设直线AB的倾斜角为ａ,引AH⊥x轴,与过B点的x的平行线交于H, 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 在RtΔABH中 paper51.com
paper51.com
①,又 内容来自论文无忧网 www.paper51.com ② http://www.paper51.com 解①②得 内容来自www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
http://www.paper51.com
内容来自www.paper51.com 内容来自www.paper51.com http://www.paper51.com copyright paper51.com 当，即时，等号成立，此时， paper51.com 内容来自www.paper51.com ，所以M点到y轴的最短距离为，M点的坐标为 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
http://www.paper51.com
参数，利用三角计算的方法来求解，此方法还用到基本不等式， 内容来自www.paper51.com 此方法中要注意三角之间的转换，如与，与之间的转换，还需要注意 paper51.com |