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[引言] 一题多解能够培养学习兴趣、开拓思维空间，能够把所学知识融会贯通；能灵活运用知识提高解题能力。一题多解是从不同的角度、不同的方位审视分析同一命题中的数量关系，用不同解法求得相同结果的思维过程。教学中适当的一题多解，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。但一题多解的最终目的不是来展示本题有多少种解决问题的途径，也不是所有的题目都需要用多种方法去解决，而是要灵活运用解题方法寻找一种最佳、最近的途径，也就是说，掌握“一题多解”的最终目的是为了“拓展思维空间，培养学习兴趣”。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 有一道几何题如下： 内容来自www.paper51.com 试证：内接于已知圆的所有矩形中，以正方形的面积为最大。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 证法一：几何方法。 http://www.paper51.com 分析：这是一道关于极值的证明题，从命题的特殊性出发，注意：圆内接矩形的对角线是直径，且直径把矩形分成两个以直径为底边、顶角为直角的全等三角形，则可用几何方法来证明。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
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A paper51.com
D 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 证明： http://www.paper51.com
如右图，矩形ABCD内接于圆。连接AC， paper51.com 则AC为已知圆的直径， http://www.paper51.com
C paper51.com 且 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
△ACD≌△CAB （1） paper51.com
△ ACD和△CAB都是底边为已知圆直径，顶角为直角的三角形。 http://www.paper51.com ∴当AD=DC AB=BC（2）时，△ACD和△CAB的面积为最大， 内容来自www.paper51.com （注：对于底边和顶角给定的所有三角形中，以等腰三角形的 http://www.paper51.com 面积为最大。） 内容来自www.paper51.com paper51.com B 内容来自www.paper51.com 从而矩形ABCD的面积为最大。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 由（1）、（2）两式表明， http://www.paper51.com 这时矩形ABCD即为正方形， http://www.paper51.com 由此命题得证。 内容来自www.paper51.com 证法二：配方法。 内容来自www.paper51.com 分析：如果从极值问题的一般方法入手，可以根据命题的条件，恰当地选择自变量，建立函数关系式，把实际问题抽象为求证函数极值的问题。本题如果以矩形的一边为自变量，可得到一个无理函数表达的关系式，由于它自身的特殊性可以转化为二次函数。 http://www.paper51.com 证明：已知圆的直径为，圆内接矩形一边AB的长为，则另一 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
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C copyright paper51.com D paper51.com 边BC的长为 paper51.com , 矩形面积为： paper51.com （3） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com copyright paper51.com http://www.paper51.com 这里S＞0，所以S取得最大值的条件和 paper51.com
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B 内容来自www.paper51.com A 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 取得最大值的条件是一致的。而 内容来自论文无忧网 www.paper51.com (4) paper51.com
paper51.com 因此，当时，有最大值，从而S也有最大值。也就是当时， 内容来自www.paper51.com
所得矩形面积最大。此时， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 则AB=BC。即当内接矩形ABCD为正方形时面积最大。 http://www.paper51.com 证法三：公式法。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 分析：在推理函数极值的时候，由于函数关系式不同，推理过程也不尽相同；即使是相同的函数关系式，也可以从不同的角度、用不同的方法进行推证。 内容来自www.paper51.com
证明：把(4)式转化为二次函数的极值问题。 paper51.com 令，则（4）式变为： paper51.com
这样, 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 是t的二次函数，其中a= －1＜0，，c= 0，所以，当时， 内容来自www.paper51.com
有最大值。即时,S有最大值。 paper51.com
（以下同证法二） paper51.com
证法四：一元二次方程根的判别式法。 http://www.paper51.com 分析：用一元二次方程的判别式和函数极值联系起来进行推证。根据实系数一元二次方程有实系数根的充要条件⊿≥0来推证。 内容来自www.paper51.com 证明：把（4）式表为的一元二次方程 paper51.com （5） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
根据题意，为实数，也为实数，而方程（5）当且仅当⊿≥0时才有实数根，即 http://www.paper51.com 即： paper51.com 由此可知，的最大值为代入方程（5），解得，即。 内容来自www.paper51.com （以下同解法二） paper51.com 证法五：不等式性质法。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 分析：根据不等式性质“如果两个正数的和为定值，则当且仅当这两个数相等时其积有最大值。”用不等式和函数极值联系起来进行推证。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 证明： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 在（4）式中，与有定和， paper51.com
所以当 , 即时，S有最大值。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （以下同证法二） copyright paper51.com 证法六：解析法。 http://www.paper51.com
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分析：在推求函数关系式的过程中，可以根据命题的特点，选择不同的自变量，从各个不同的角度进行推理，得到不同的函数关系式。本题如果建立恰当的坐标系，把顶点的坐标作为自变量，可推得一个用一次函数表达的关系式，从自变量的变化范围入手，可以用条件极值的方法来处理。 内容来自www.paper51.com 证明： copyright paper51.com D paper51.com 设已知圆的直径为d，取矩形的对角线AC作轴， http://www.paper51.com 已知圆的圆心作原点，如图建立坐标则A、C的坐标为 内容来自www.paper51.com paper51.com C http://www.paper51.com o http://www.paper51.com 。设点D在已知圆的上半个圆上，坐标为 内容来自www.paper51.com
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， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com A http://www.paper51.com 则点B的坐标为 http://www.paper51.com
，矩形面为 内容来自www.paper51.com
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B http://www.paper51.com 。 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 与 http://www.paper51.com 满足关系式 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 其中，,当x=0时，y有最大值，从而S copyright paper51.com 也有最大值。而当x=0时，由两点间的距离公式可得： http://www.paper51.com
.即矩形ABCD为正方形。 paper51.com
证法七：三角函数法一。 copyright paper51.com 分析：如果以矩形的一边和它的对角线的夹角为自变量，可推得一个三角函数表达式，转化为三角函数的极值问题。对于三角函数关系式，可以用直接求三角函数极值的方法进行推证。 http://www.paper51.com 证明：设AC与AB的夹角为θ，则，矩形面积为 http://www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com |