|
一、 正常奇点的分析 copyright paper51.com
Ⅰ. 理论准备 copyright paper51.com 定义一[1]如果常微分方程 （1.1） 内容来自www.paper51.com 中的只显含， 不显含，则称（1.1）为自治系统，否则称为非自治系统． 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
定义二[2]对自治系统 （1.2） copyright paper51.com 如果存在，使方程组得 ，则称点（）为系统（1.2）的一个奇点．显然，这个联立方程组的解不一定是唯一的． copyright paper51.com 定理一[3]平面线性系统奇点类型的判定原理：对平面线性系统 （1.3） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 为实数，其中矩阵A= ．显然，当且仅当时，系统（1.3）化为标准型．由线性代数的理论可知，存在矩阵，使成为Jordan标准型．从而可借助于非奇异线性变换 内容来自www.paper51.com
将系统（1.3）变为 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （1.4） http://www.paper51.com 其中是为Jordan标准型矩阵． paper51.com
显然，是系统（1.3）和（1.4）的唯一奇点，它们具有相同的拓扑结构类型．因此，研究系统（1.3）的奇点的类型就等同与研究系统（1.4）的奇点的类型． paper51.com 二维矩阵的Jordan标准型不外乎有下列4种型式： copyright paper51.com , , , ． 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 中为矩阵的两个不同的实特征根，即特征方程 paper51.com
的两不同实根，其中，是此特征的一对共轭复数． http://www.paper51.com 由此，可将系统（1.4）分成以下5种情况讨论． 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
（1）(两特征根为不同实根且同号)，此时奇点O称为正规结点，也简称为结点．且当，即时，结点渐近稳定；当，即时，结点不稳定． 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （2） (特征根为重根)．当时，称为临界结点；当时，称为退化结点． 内容来自www.paper51.com
（3）（两共轭复特征根，且实部非零）．此时奇点为焦点．且时为稳定焦点;时为不稳定焦点． 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
（4） (特征根为共轭纯虚根)．此时奇点为中心． 内容来自www.paper51.com （5）（特征根为异号实根）．即，此时奇点称为鞍点． 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
根据以上定义，可以形象地展示出、、和三个参数间与奇点的分类的关系． copyright paper51.com
copyright paper51.com paper51.com
http://www.paper51.com 内容来自www.paper51.com
copyright paper51.com （同为负） paper51.com 稳定结点 copyright paper51.com http://www.paper51.com （同为正） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 不稳定结点 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
内容来自www.paper51.com
http://www.paper51.com
paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com paper51.com http://www.paper51.com 稳定的临界结点 paper51.com
copyright paper51.com 不稳定的临界结点 paper51.com copyright paper51.com 内容来自www.paper51.com paper51.com 稳定的退化结点 copyright paper51.com 内容来自www.paper51.com 不稳定的退化结点 copyright paper51.com
http://www.paper51.com
内容来自论文无忧网 www.paper51.com
内容来自论文无忧网 www.paper51.com copyright paper51.com http://www.paper51.com 稳定的焦点 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
内容来自www.paper51.com
不稳定的焦点 内容来自www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 中心 内容来自www.paper51.com
内容来自论文无忧网 www.paper51.com paper51.com 鞍点 http://www.paper51.com 定理二[3]（Perron第一定理） 设系统 （1.5）中的X与Y满足条件： 内容来自www.paper51.com （1）在奇点的邻域内有连续的一阶偏导数； copyright paper51.com
（2）． 内容来自www.paper51.com 则如果是对应线性系统（1.3）的焦点、结点、或鞍点，那么也是非线性系统（1.5）的同类型奇点． 内容来自www.paper51.com
Ⅱ.具体分析 paper51.com
对于系统 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
求解线性方程组可得4个奇点，分别为： 内容来自www.paper51.com ， ， ， ． http://www.paper51.com 10 对于奇点．原方程组对应的线性系统为： http://www.paper51.com
内容来自论文无忧网 www.paper51.com
http://www.paper51.com 它的系数矩阵为： paper51.com 由于 http://www.paper51.com
所以，奇点为稳定的结点． 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
20 对于奇点．原方程组对应的线性系统为： http://www.paper51.com
内容来自论文无忧网 www.paper51.com paper51.com 它的系数矩阵为： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
由于， 内容来自www.paper51.com
内容来自www.paper51.com
内容来自www.paper51.com
所以，奇点为不稳定结点． paper51.com
30 对于奇点．原方程组对应的线性系统为： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
内容来自www.paper51.com
paper51.com
它的系数矩阵为： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 由于，即特征根为异号实根． copyright paper51.com 所以，奇点为鞍点． http://www.paper51.com 40 对于奇点．原方程组对应的线性系统为： paper51.com
paper51.com
copyright paper51.com 它的系数矩阵为： http://www.paper51.com 由于 paper51.com copyright paper51.com 此时有三种情况： copyright paper51.com ⑴当时，，此时结点为稳定焦点． 内容来自www.paper51.com ⑵当时，，此时结点为不稳定焦点． copyright paper51.com ⑶当时，，此时结点是中心． 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 二、 讨论极限环 copyright paper51.com Ⅰ. 理论准备 http://www.paper51.com 定义4[3]设有系统（2.1）的闭轨线．若存在，使该系统在的两侧邻域内的一切轨线均以为其或极限集，则称为该系统的一个极限环． 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
定理1（极限环的判定）[3]（Bendixson-Dulac判别法）若在单连通域内存在函数,使．且不在的任一子区域内恒为零，则系统（2.1）不存在全部位于内的闭轨线和具有有限个奇点的奇异闭轨线．函数常称为Dulac函数． paper51.com
定理2[1]若，即方程是全微分方程，则系统（2.1）无极限环． 内容来自论文无忧网 www.paper51.com Ⅱ. 具体分析 copyright paper51.com 对系统 http://www.paper51.com 它有两条积分直线及，其上有四个奇点：，，， ． paper51.com http://www.paper51.com ∵， ∴ copyright paper51.com 则直线，的交点不在坐标轴上． paper51.com 取Dulac函数 http://www.paper51.com
可算得: 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 令， 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
确定和分别为：， 内容来自www.paper51.com 因此有 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 因此在任何一个象限内，, http://www.paper51.com
∴当时，上述判定式定号． http://www.paper51.com 由定理1知，系统不存在闭轨线． http://www.paper51.com
若，上述判定式恒为零，由定理2知，系统也不存在极限环． paper51.com |