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1.引 言 生命系统是一个复杂的非线性系统,无论是动物、植物还是微生物的增长过程都是极其复杂的，受到许多随机因素的控制和制约，如加性噪声和乘性噪声的干扰，能对系统的演化起到决定性的作用,甚至能够改变系统的宏观命运。今天，非线性随机动力学已在生物学、医学、物理学等方面得到了广泛的应用。 copyright paper51.com
非线性物理作为科学的一个新的分支,如同量子力学和相对论一样,将人们引向全新的思想,给予我们惊人的结果。非线性物理是一门以非线性系统的普遍规律及客观世界的复杂性本身为研究对象的学科,它在20世纪80和90年代蓬勃发展,也将成为新世纪物理学研究的最前沿,在国外著名的大学和研究所纷纷成立非线性科学和复杂性科学的研究中心,许多专门刊登非线性物理和复杂性科学研究论文的国际新期刊也应运而生；在我国,对于非线性和复杂性科学的研究,国家科委和国家自然科学基金委也给以大力的支持和扶植。近来，关联噪声引起了广大研究者的注意，并且噪声受激跃迁概念在物理学、化学、生物学领域得到广大应用[1]。科学家们也将生物的复杂性和多样性的揭露寄希望于非线性科学[2]。无论是在生物学、医学、还是物理学等方面，关联噪声都扮演着重要的角色，起着极其重要的作用，如噪声诱导相变、随机共振等[3-9]。特别是噪声引起的随机共振可以揭示和解释一些复杂的生物现象[10、11]。多年以来,探知肿瘤的内在规律一直是一个挑战性的课题,为控制和治疗肿瘤,科学家们千方百计寻求各种解决方法,包括物理、数学、生物、化学等方面的解决方法，随着有关肿瘤细胞的各种数学和物理模型不断出现,无数科学家通过实验和计算发现环境的影响决定着肿瘤细胞的生长和灭亡,在揭示肿瘤生长规律方面做出重要贡献。首先在分析肿瘤细胞生长系统的过程中我们引入了Logistic模型，它是一个描述增长过程的一般模型,可以描述种群的增长、经济的增长等等，然而在很多情况下,Logistic模型作为一个细胞增长的基本模型,更普遍的用来描述肿瘤细胞增长过程，在Logistic生长模型中引入了加性噪声和乘性噪声, 通过求解其对应的福克—普朗克方程,揭示了肿瘤细胞生长的内在规律。在非线性系统中，用Logistic微分方程来分析肿瘤细胞数，然而Logistic微分方程作为一个非线性方程, 其中蕴含着丰富的物理学与生物学意义, 在生物种群的出现以及演化方面做出了重要的诠释。最近，艾保全等人在文献集[1]中研究了关联噪声对肿瘤细胞的定态性质的影响，但他们只是从理论上进行分析，同时在他的理论推导中存在错误，并且只考虑了正关联的情况，本文运用解析方法重新推导了定态概率分布函数的解析表达式，并且将噪声间的关联从正关联扩展到了负关联。 http://www.paper51.com 2.系统的定态性质 内容来自www.paper51.com 肿瘤细胞的生长和灭亡是受环境影响的，由于肿瘤细胞生长过程中,出现了两个噪声源，其中一个来自外在环境(如化疗、放疗等)，属于乘性噪声，而另一个来自肿瘤细胞本身，属于加性噪声。在肿瘤治疗过程中, 各种治疗手段的引入改变着肿瘤生长的外在环境，其中不但有负面的影响，而且更有正面的影响。例如化疗和放疗，它们在杀灭肿瘤的同时，也促使正常细胞发生变异以适应新的环境,甚至使正常细胞也发生癌变，这些变化是随机的，这也正是我们在Logistic生长模型中引入了具有关联的乘性噪声和加性噪声的原因。Verhulst的Logistic生长模型是一种研究肿瘤细胞的生物模型。Verhulst等人在Logistic微分方程中引入了乘性噪声和加性噪声，方程中乘性噪声强度表示治疗的强度，如化疗中药物的浓度、放疗中放射线的强度等；加性噪声强度则表示肿瘤自身进行的扩张和转移的能力；而乘性噪声和加性噪声之间的关联强度，则表示肿瘤自身对治疗的适应能力。 内容来自www.paper51.com
根据文献集[1]，描述描述肿瘤细胞生长系统的动力学方程可表述为： 内容来自www.paper51.com （1） 内容来自www.paper51.com 上式中是肿瘤细胞数， 是肿瘤细胞生长率，是肿瘤细胞死亡率。我们认为影响应归于若干外界因素，例如温度、药物、放射线疗法等等。这些因素能直接地影响肿瘤细胞数，改变肿瘤细胞的生长率。也就是说，这些因素的涨落能产生乘性噪声,如药物疗法和放射线疗法等等的一系列的外界因素,能抑制肿瘤细胞数量,参照文献集[1]，方程（1）可写成含随机项的下式： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
（2） http://www.paper51.com 方程（2）中和分别表示乘性噪声和加性噪声，假定它们之间存在关联，其满足以下统计性质: copyright paper51.com （3） http://www.paper51.com （4） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （5） 内容来自www.paper51.com
（6） 内容来自www.paper51.com 上式中的和分别为加性噪声强度和乘性噪声强度，表示的是乘性噪声和加性噪声两者之间的关联强度，这里我们研究的是时的情况，为Dirac 函数, 和表示两个不同的时刻。 内容来自www.paper51.com 在约束条件时，由方程（2）可写出相应的福克—普朗克方程： copyright paper51.com （7） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com 上式中的是概率密度，并且有： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （8） copyright paper51.com
（9） 内容来自www.paper51.com
由（7）式（8）式和（9）可得出方程（7）的定态解： copyright paper51.com （10） http://www.paper51.com 上式中的叫归一化常数。 paper51.com 把（8）式（9）式代入（10）式，可得： http://www.paper51.com
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内容来自www.paper51.com （11） http://www.paper51.com 数学积分公式有： 内容来自www.paper51.com （12） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （13） http://www.paper51.com （14） copyright paper51.com
把积分公式（12）式（13）式（14）式代入（11）式，得： copyright paper51.com
（15） 内容来自www.paper51.com copyright paper51.com （16） 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （16）式合并同类项后得： paper51.com
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http://www.paper51.com （17） 内容来自www.paper51.com 即： 内容来自论文无忧网 www.paper51.com
（18） http://www.paper51.com 上式中 http://www.paper51.com
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以上是理论近似方法获得的系统的定态概率分布。此外，我们还可以用数值模拟方法来获得系统的定态概率分布，数值模拟方法如下： copyright paper51.com 参照文献集[1]，我们也可认为肿瘤细胞生长系统的动力学方程可表述为： paper51.com （19） http://www.paper51.com 根据文献集[12]提出的方法，可作如下变换： 内容来自www.paper51.com （20） 内容来自www.paper51.com 将（20）式代入（19）式可得： paper51.com （21） copyright paper51.com 此时，乘性噪声和加性噪声之间就不在关联，而是相互独立的，并具有如下统计性质： 内容来自www.paper51.com
（22） copyright paper51.com （23） http://www.paper51.com （24） copyright paper51.com 根据欧拉向前算法，（21）式可形式积分为[13]: 内容来自www.paper51.com 内容来自论文无忧网 www.paper51.com （25） http://www.paper51.com 式中，，且、、和是分布于0到1之间的四个相互独立的随机数。 paper51.com 运用（25）式，我们可以对（21）式进行数值模拟，模拟的初始条件取为，且小时间步长为。 内容来自www.paper51.com |